 |
|
|
||||
Click here to change to English! 
Iratkozz fel a levelezőlistára, hogy értesülj a Web-Schrödingerrel kapcsolatos hírekről (új verzió, példák stb.)
A Web-Schrödinger egy, az időfüggő Schrödinger egyenlet megoldására szolgáló interaktív program. A program maga egy alkalmazásszerveren fut és egyszerű web böngésző segítségével (Internet Explorer, Mozilla, Opera) érhető el. A felhasználónak nem kell semmit telepítenie a saját gépén. A felhasználó betöltheti és futtathatja az előre elkészített példákat és változtathat azok beállításain, továbbá készíthet teljesen új példákat, melyek mentése a saját számítógépre szintén lehetséges..
A ψ(r;t) hullámfüggvény időfejlődését a kvantummechanikában az időfüggő Schrödinger egyenlet határozza meg:
ahol r = (x,y) a helykoordináta, t az idő, H = K + V a Hamilton operator, ahol K mozgási energia operátora és V = V(x,y) a helyzeti energia operátora.
Ha ismert a V(x,y) potenciál függvény és a ψ(x,y,t0) = ψ0(x,y) kezdeti hullámfüggvény,akkor az időfüggő Schrödinger egyenlet segítségével bármely későbbi időpillanatra meg tudjuk határozni a ψ(x,y,t) hullámfüggvényt.
A program összes funkciója a menürendszerből érhető el a felhasználó számára. A program indításakor egy alapértelmezett beállítás töltődik be, ezt a felhasználó azonnal képes futtatni a Time development menün keresztül vagy betölthet más beállításokat a File menü Load Example és Load menüpontjai segítségével. Az összes paraméter változtatható az Edit menü segítségével, s ezek a beállítások bármikor menthetőek is a File menü Save menüpontjában.
Az ebben a menüpontban betölthető páldák a kvantummechanika legfontosabb jelenségeit mutatják be, köztük a hullámcsomag szétfolyását, az alagutazást, a kötött állapotokat, stb. A jelenlegi lista, a F üggelék "A" részében található, ezeknek a példáknak a száma természetesen folyamatosan bővül a frissítésekkor. A felhasználó a példa betöltése után végignézheti a betöltött paramétereket és természetesen módosíthat is rajtuk az Edit menü segítségével, mielőtt futtatná a szimulációt a Time development menüből.
A felhasználó ebben a menüpontban képes saját számítógépéről beállításokat tartalmazó fájl feltöltésére. Ilyen paraméter fájl elkészíthető beállítások mentése folyamán (Save menüpont), de a megfelelő formátumú fájl szövegszerkesztő programmal is létrehozható.
A paraméterek aktuális beállításait a felhasználó bármikor elmentheti a saját számítógépére.
A program a hullámfüggvényt és a potenciált egy kétdimenziós rács pontjaiban adott számértékekkel, azaz mátrixként kezeli. Ebben a menüpontban a felhasználó meghatározhatja a pontok számát ezen a hálón (Nx , Ny) az x és y irányokban, továbbá megadhatja a számolási tartomány méretét Angström-ben (sx, sy). Az ezekből származtatható Δx = sx/Nx, Δy = sy/Ny felosztás értékek tipikus alkalmazás esetén 0.1 - 1 Å közé esnek. A koordinátarendszer középpontja a számolási tartomány közepén található.
A numerikus algoritmus periodikus határfeltételt használ, aminek következtében, ha a hullámcsomag elhagyja a számolási az egyik oldalon, az bejön az ellenkező oldalon. Ez olyan, mintha ’kicsempéznénk’ az egész síkot a számolási tartománnyal. Ennek következtében mikor a hullámcsomag eléri a számolási doboz határát, szembetalálkozik a szomszédos „csempében” létező másolatával, ami fizikailag értelmetlen interferenciákat okoz. A paraméterek beállításainál (térbeli és időbeli felosztás, potenciál, kezdeti állapot) ügyelni kell, hogy ez a jelenség ne történjen meg.
V0 adja meg a potenciál háttér értékét elektronvoltban (eV).
A V(x,y) potenciált a felhasználó különböző alakzatokból (kör, téglalap, sík) rakhatja össze interaktív módon. Bármennyi alakzat elhelyezhető ezekből a síkon. Az alakzatok geometriai paramétereit és a hozzájuk tartozó potenciál értékeket is a felhasználó állíthatja be. Azoknál a rácspontoknál, ahol több alakzat átfedi egymást, a potenciál értékét a legutoljára odahelyezett alakzat potenciál értéke határozza meg. A program minden lépésben megmutatja az adott alakzatok által létrehozott potenciálfüggvényt.
Itt tudja a felhasználó meghatározni a kezdeti ψ0(x,y) hullámcsomagot. A kezdeti hullámfüggvény egy un. csonkított síkhullám [7] hullámcsomag, ami nem más, mint egy Gauss hullámcsomag és egy négyszög ablakfüggvény konvoluciója. A program együtt ábrázolja egy összetett színű képen a beállított kezdeti hullámfüggvény megtalálási valószínűségsűrűségét és a potenciálfüggvényt. Ahhoz, hogy biztosítsuk a hullámfüggvény megfelelő alakját (minimális méret, lapos felületű burkoló), amikor az a potenciálhoz ér, a kezdeti állapot készítésénél egy idő késleltetési algoritmust építettünk be a programba. A felhasználó megadja bx, by távolságokat, melyekből a gép kiszámolja a késleltetési időt, ezáltal a hullámfüggvény alakja pontosan akkorra válik „ideálissá”, mikor időfejlődése során elérkezik a potenciálhoz.
ax, ay határozza meg a hullámcsomag térbeli szélességét. A kezdeti állapotot úgy kell megadni, hogy a potenciál alakzatokkal való átfedése elhanyagolhatóan kicsi legyen.Itt tudjuk megadni az időfejlődéshez tartozó paramétereket. Az időlépések számát Nt , az időlépésközt Δt beállításával változtathatja a felhasználó. Δt megadása atomi egységekben történik, 1 au = 0.0242 fs (femtoszekundum).
A numerikus algoritmus korlátot szab meg a maximálisan használható Δt értékre:: Δt < 4/π (Δx)2 / D, ahol D a számolás dimenziószáma, D=2 kétdiemnzióban. (Ez az összefüggés atomi mértékegységben érvényes, azaz Δx értéke Bohr-ban értendő, 1 Bohr = 0.529 Å. Az alapértelmezett Δx = 0.3 Å felosztás esetén a fenti számolás alapján Δt = 0.2 au egy alkalmas lépésköz választás, s ez látható alapértelmezett beállításként.)Mint látható, a számolás pontossága finom időbeli felosztást igényel, emiatt az eredménynél nem volna célszerű minden lépés után megjeleníteni a számolt hullámfüggvényt. Ezért a felhasználó beállíthatja ennek a megjelenítésnek a lépésközét (display timestep).
Amikor a felhasználó a „RUN” gombot megnyomja, a szerveren elkezdődik az időfejlődés számítása. A számítási folyamat a megjelenő linkre kattintva, kis képeken figyelhető meg. Tipikus paraméterek beállítása esetén a számolás 1-2 percet vesz igénybe. (Ha egyidejűleg több számítás is fut a szerveren – ugyanattól a felhasználótól vagy másoktól – a számítás lassabb lehet. A program kiírja az egyidejűleg futó számítások számát a „RUN” gomb megnyomása után -- ha egynél több számolás fut éppen.)
Miután a szerver befejezte a teljes időfejlődés számítását, a program egy összetett színű képen jeleníti meg a megtalálási valószínűségsűrűség időfejlődését. Ehhez a program első lépésben megkeresi a megtalálási valószínűség időbeli maximumát és ezzel az értékkel normálja az összes képkockát. Továbbá, a program, hogy lehetővé tegye a nagyobb és kisebb valószínűségsűrűség értékek egyszerre való ábrázolását, egy nemlineáris színskálát (γ=2.5) használ..
Iratkozz fel a levelezőlistára, hogy értesülj a Web-Schrödingerrel kapcsolatos hírekről (új verzió, példák stb.).